ОГЕ, Математика. Геометрія: Завдання №060A64

1. Завдання №6 з 1020 Умова задачі: У параллелограмме KLMN точка A - середина сторони LM. Відомо,...

Завдання №6 з 1020
Умова задачі:

У параллелограмме KLMN точка A - середина сторони LM. Відомо, що KA = NA. Доведіть, що даний паралелограм - прямокутник.

Рішення задачі:

Розглянемо трикутники KLA і NMA. LA = MA, тому що точка А - середина LM, AK = AN з умови задачі, LK = MN ( по властивості паралелограма ). Відповідно, трикутники KLA і NMA рівні ( по третьому ознакою рівності трикутників ).
З рівності цих трикутників випливає, що ∠KLA = ∠NMA.
LK || MN ( за визначенням паралелограма ), Розглянемо сторону LM як січну до цих паралельним сторонам. Тоді виходить, що сума кутів KLA і NMA дорівнює 180 °, тому що ці кути є внутрішніми односторонніми . Звідси випливає, що кожен з цих кутів дорівнює 90 °.
Розглянемо трикутник KAN, KA = NA (за умовою завдання), відповідно, цей трикутник рівнобедрений . Звідси випливає, що ∠AKN = ∠ANK ( з властивості рівнобедреного трикутника ). З раніше отриманого рівності трикутників, слід, що ∠LKA = ∠MNA. Отримуємо, що кути LKN і MNK рівні.
У свою чергу вони так само є внутрішніми односторонніми і їх сума дорівнює 180 °. Виходить, що і ці кути рівні 90 ° кожен.
Паралелограм, у якого всі кути прямі (тобто 90 °) називається прямокутником ( за визначенням ).

ч.т.д.