Рекорд з чистого аркуша: папір здається 12 разів

Нам так і не вдалося знайти першоджерело цього широко розповсюдженого повір'я: жоден аркуш паперу можна скласти вдвічі більше семи (за деякими даними - восьми) раз. Тим часом поточний рекорд складання - 12 разів. І що найдивніше, належить він дівчині, математично обгрунтувати цю «загадку паперового листа».

Зрозуміло, ми говоримо про папері реальної, має кінцеву, а не нульову, товщину. Якщо складати її акуратно і до кінця, виключаючи розриви (це дуже важливо), то «відмову» складатися вдвічі виявляється, зазвичай, вже після шостого разу. Рідше - сьомого. Спробуйте зробити це з листком із зошита.

І, як не дивно, від розмірів листа і його товщини обмеження мало залежить. Тобто, просто так взяти тонкий лист побільше, та й скласти його удвічі, раз допустимо 30 або хоча б 15 - не виходить, як не бийся.

У популярних вибірках, типу «А чи знаєте ви що ...» або «Дивовижне поруч», факт цей - що ось більше саме 8 разів скласти папір не можна - до сих пір можна знайти дуже в багатьох місцях, в Мережі і поза. Але факт чи це?

Давайте міркувати. Кожне додавання подвоює товщину стоси. Якщо товщину паперу прийняти рівної 0,1 міліметра (розмір аркуша ми зараз не розглядаємо), то додавання її вдвічі «всього» 51 раз дасть товщину складеної пачки в 226 мільйонів кілометрів. Що вже очевидний абсурд.

Світова рекордсменка Брітні Гелліван і паперова стрічка, складена вдвічі (в одному напрямку) 11 раз (фото з сайту mathworld.wolfram.com).

Здається, тут-то ми починаємо розуміти, звідки береться відоме багатьом обмеження на 7 або 8 разів (ще раз - папір у нас реальна, вона не тягнеться до нескінченності і не рветься, а порветься - це вже не складання). І всеж…

У 2001 році одна американська школярка вирішила впритул зайнятися проблемою подвійного складання, а вийшло з цього ціле наукове дослідження, та ще й світовий рекорд.

Власне, почалося все з виклику, кинутого педагогом учням: «А ось спробуйте скласти хоч що-небудь навпіл 12 разів!». Мовляв, переконайтеся, що це з розряду абсолютно неможливого.

Брітні Гелліван (Britney Gallivan) (зауважимо, зараз вона вже студентка) спочатку відреагувала як Аліса Льюїса Керролла: «Марно і пробувати». Але ж говорила Алісі Королева: «Насмілюся сказати, що у вас не було великої практики».

Ось Гелліван і зайнялася практикою. Порядком намучившись з різними предметами, вона склала-таки лист золотої фольги вдвічі 12 разів, ніж посоромила свого викладача.

Приклад складання листа вдвічі чотири рази. Пунктир - попереднє положення триразового складання. Букви показують, що точки на поверхні листа зміщуються (тобто, листи ковзають одна відносно іншої), і займають в результаті не те положення, як може здатися при першому погляді (ілюстрація з сайту pomonahistorical.org).

На цьому дівчина не заспокоїлася. У грудні 2001 року вона створила математичну теорію (ну, або математичне обґрунтування) процесу подвійного складання, а в січні 2002 року виконала 12-кратне складання навпіл з папером, використовуючи ряд правил і кілька напрямків складання (для любителів математики, трохи докладніше - тут ).

Брітні помітила, що до цієї проблеми раніше вже зверталися математики, але правильного і перевіреного практикою вирішення завдання ще ніхто не надавав.

Гелліван стала першою людиною, який правильно зрозумів і обгрунтував причину обмежень на додавання. Вона вивчила накопичуються при складанні реального листа ефекти і «втрату» паперу (та й будь-якого іншого матеріалу) на сам згин. Вона отримала рівняння для межі складання, для будь-яких вихідних параметрів аркуша. Ось вони.

Перше рівняння відноситься до складання смуги тільки в одному напрямку. L - мінімально можлива довжина матеріалу, t - товщина листа, і n - число виконаних згинів в два рази. Зрозуміло, L і t повинні бути виражені в одних і тих же одиницях.

Гелліван і її рекорд (фото з сайту pomonahistorical.org).

У другому рівнянні мова йде про складання в різних, змінних, напрямках (але все одно - вдвічі кожен раз). Тут W - ширина квадратного аркуша. Точне рівняння для складання в «альтернативних» напрямках - більш складне, але тут наводиться форма, що дає дуже реалістичний результат.

Для паперу, яка не є квадратом, вищезгадане рівняння все ще дає вельми точний межа. Якщо папір, скажімо, має пропорції 2 до 1 (по довжині і ширині), легко збагнути, що потрібно скласти її один раз і «привести» до квадрату подвійної товщини, а потім скористатися вищезгаданої формулою, подумки тримаючи в розумі одне зайве складання.

У своїй роботі школярка визначила строгі правила подвійного складання. Наприклад, у листа, який згорнутий n раз, 2n унікальних шарів повинні лежати підряд на одній лінії. Секції листа, що не відповідають цьому критерію, не можуть вважатися як частина згорнутої пачки.

Так ось Брітні і стала першою у світі людиною, що склали аркуш паперу вдвічі 9, 10, 11 і 12 разів. Можна сказати, не без допомоги математики.